مثلا مساويست مر داخله - ب ه ر - را ، و دو داخله - د ر ه ، ب ه ر - با هم برابر دو قائمه‌اند ؛ گوييم كه دو خط - ا ب ، ح د - متوازىاند ، زيرا كه چون زاويه - ح ر د - خارجه مساويست - ب ه ر - داخله را ، و زاويه - ح ر ه - كه مساوى زاويه - ح ر د - است نيز برابر زاويه - ب ه ر - باشد ، پس متبادلتين متساوى باشند ، و نيز هرگاه زاويه - د ر ه - بالفرض با زاويه - ب ه ر - برابر دو قائمه است ، اين حالت نيز مستلزم تساوى دو متبادله مذكوره شود چرا كه زاويه - ح ر ه - نيز با زاويه - د ر ه - مثل دو قائمه است ، پس به حكم شكل مقدّم ( يعنى شكل 9 در اين رساله ) دو خط - ا ب ، ح د - متوازى باشند » ( ش 11 ) . بيان : آن‌كه فرمود : « و زاويه - ح ر ه - كه مساوى زاويه - ح ر د - است » همانست كه در ش 7 در حكم دو زاويه متقابل برأس گفته آمد . و آن شكل « يه » مقاله اولى اصول است كه : الزاويتان المتقابلتان الحادثتان عن تقاطع كلّ خطّين متساويتان الخ . پس خلاصه دو قضيه مذكور اين‌كه : هرگاه خط مستقيمى قاطع دو خط مستقيم ديگر شود كه دو زاويه متبادل متساوى حادث شود ، و يا دو زاويه متناظر متساوى حادث گردد ، و يا مجموع هر يك از دو زاويه داخل در يك جهت قاطع ، مساوى دو قائمه بود ؛ در هر يك از اين احوال سه‌گانه آن دو خط مستقيم متوازى خواهند بود . و بالعكس هرگاه خط مستقيمى قاطع دو خط مستقيم متوازى گردد ، هر يك از دو زاويه متبادل با هم متساوى خواهند بود ، و همچنين هر يك از دو زاويه متناظر با هم مساوى خواهند بود ، و نيز مجموع هر دو زاويه داخل در جهت واحد قاطع